Chương I. VẤN ĐỀ ĐỐI TƯỢNG CỦA TOÁN HỌC
Trong toán học, vấn đề về mối quan hệ giữa tư duy và tồn tại được thể hiện thành vấn đề về mối quan hệ giữa tri thức toán học và hiện thực khách quan.
Việc giải quyết vấn đề này cũng chia thành hai trường phái đối lập nhau.
Những người duy vật khẳng định những khái niệm và lý thuyết toán học là sự phản ánh những thuộc tính và những quan hệ của thế giới bên ngoài.
Trái lại, những người duy tâm thì cho rằng những tri thức toán học hoặc là những tư tưởng được sáng tạo thuần tuý của tư duy con người, hoặc là những tư tưởng tiên nghiệm, có trước kinh nghiệm, tức là tri thức toán học biểu thị như cái có trước, cái thứ nhất, còn tự nhiên là cái thứ hai.
Cách tiếp cận một cách khoa học đối với đối tượng của toán học thông qua lịch sử phát triển của nó, trong đó có các trừu tượng toán học sẽ không chỉ cho chúng ta lời giải duy vật về bản chất của các tri thức toán học mà cả đặc trưng biện chứng về quá trình phát triển của toán học.
* *
*
Trong việc tìm hiểu đối tượng của toán học, vấn đề quan tâm hàng đầu là khách thể nào trong hiện thực là đối tượng của toán học và toán học phản ánh đối tượng ấy như thế nào? Để giải đáp được điều đó, chúng ta hãy tìm hiểu hai vấn đề cơ bản sau đây:
1. Toán học phản ánh khía cạnh nào của hiện thực khách quan.
2. Những đặc điểm cơ bản của các trừu tượng toán học. Như đã biết, các khoa học khác nghiên cứu các hình thức vận động riêng biệt của vật chất (ví dụ: cơ học, hoá học,…) hay một số các hình thức vận động quan hệ qua lại với nhau (như lý hoá, hoá sinh,…). Toán học không nghiên cứu một hình thức riêng biệt nào về vận động của vật chất. Nó nghiên cứu các khía cạnh nhất định vốn tồn tại khách quan trong tất cả các hình thức vận động của vật chất. Đúng như Ph.Ăngghen đã nhận xét: Toán học thuần tuý có đối tượng của mình là các hình thức không gian và các quan hệ số lượng của thế giới hiện thực.
Như vậy, đặc trưng của toán học với tư cách một khoa học là ở chỗ nó phân tích những quan hệ số lượng và những hình thức không gian tồn tại ở tất cả các hình thức vận động, tức là tồn tại ở mọi khách thể của hiện thực khách quan. Đó chính là đối tượng hiện thực của toán học.
Quan niệm toán học như là khoa học về các quan hệ số lượng và các hình thức không gian của thế giới hiện thực cho ta khả năng hiểu biết một cách đúng đắn nội dung khách quan của tri thức toán học cũng như khuynh hướng chung trong sự phát triển của toán học.
Cũng cần lưu ý rằng, các quan hệ số lượng và các hình thức không gian phải được hiểu theo nghĩa rộng. Cho đến giữa thế kỷ XIX, quan hệ số lượng được hiểu một cách hết sức hẹp. Người ta hiểu số lượng là một đại lượng. Vì mỗi đại lượng thông qua đơn vị được lựa chọn đều có thể được biểu thị bằng số, cho nên quan niệm về số lượng được liên tưởng với khái niệm số. Tương ứng với điều đó, toán học được xem như là khoa học nghiên cứu các tính phụ thuộc khác nhau giữa các đại lượng hay giữa các biểu thị bằng số của chúng.
Lịch sử của toán học đã chỉ ra rằng, cùng với sự phát triển của khoa học và thực tiễn xã hội, phạm vi các quan hệ số lượng và các hình thức không gian được toán học nghiên cứu đã được mở rộng không ngừng. Chẳng hạn, trong toán học hiện đại, các quan hệ số lượng và các hình thức không gian được hiểu chung là các cấu trúc toán học trừu tượng.
Tuy nhiên, từ các khách thể hiện thực ấy (các quan hệ số lượng và các hình thức không gian), toán học đã xây dựng nên các đối tượng hết sức trừu tượng của mình. Các trừu tượng này mới chính là đối tượng trực tiếp của các lý thuyết toán học (ngoại trừ ở giai đoạn đầu tiên khi toán học còn là khoa học kinh nghiệm, chưa trở thành khoa học lý thuyết trừu tượng). Những đối tượng trực tiếp này được xây dựng thông qua sự trừu tượng hoá với việc sử dụng các khách thể lý tưởng. Như vậy, có thể xem các quan hệ số lượng và các hình thức không gian của các khách thể hiện thực là đối tượng hiện thực của toán học, còn các trừu tượng toán học về các quan hệ số lượng và các hình thức không gian ấy là đối tượng trực tiếp của toán học.
Để thấy rõ hơn vấn đề đối tượng của toán học, chúng ta tìm hiểu các đặc trưng cơ bản của trừu tượng toán học qua các giai đoạn cơ bản trong sự phát triển của toán học.
Các phương pháp trừu tượng hoá trong khoa học phụ thuộc trực tiếp vào bản chất của đối tượng được nghiên cứu và những mục đích đặt ra trước các nhà khoa học. Chúng ta có thể phân ra ba phương thức khác nhau của sự trừu tượng hoá: trong các khoa học vô sinh, trong sinh học và khoa học xã hội, trong toán học và logíc học.
